图像距（几何矩、中心矩、hu矩）

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数学距

在数学中，矩是一组点的形状的特定定量度量，用于力学和统计学。 如果点表示质量，则零矩为总质量，第一矩除以总质量为中心，第二矩为转动惯量。 如果点表示概率密度，则零矩是总概率（即第一时刻是均值，第二中心时刻是方差，第三时刻是偏度，第四时刻（归一化和移位）是峰度。 数学概念与物理学中的矩概念密切相关。 对于质量或概率的有界分布，所有矩（所有阶数，从0到∞）的集合唯一地决定了分布。 - 维基百科翻译

n阶矩被定义为一变量的n次方与其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）之积的积分。在文献中n阶矩通常用符号μn表示，直接使用变量计算的矩被称为原始矩（raw moment），移除均值后计算的矩被称为中心矩（central moment）。变量的一阶原始矩等价于数学期望（expectation）、二至四阶中心矩被定义为方差（variance）、偏度（skewness）和峰度（kurtosis）。

对连续变量x和其单变量概率密度函数P(x)或积累分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）C(x)，其n阶矩被定义为$\mu'_n$：

$\mu'_n= \int x^ndC(x) = \int x^n P(x)dx$

若变量x为离散变量，则$\mu'_n$也可表示为：

$\mu'_n = \sum x^n P(x)$

当n=1时，$\mu'_n$等价于x的数学期望：

$\mu'_1 = \int x P(x)$

当n=2,3,4时，其中心矩被定义为方差、偏度和峰度：

$\mu'_2 = \int (x-\mu'_1)^2 P(x)dx \\ \mu'_3 = \int (x-\mu'_1)^3 P(x)dx \\ \mu'_4 = \int (x=\mu'_1)^4 P(x)dx$

对概率分布能否被其各阶矩决定的问题称为矩问题（moment problem），其中在有界区间内的矩问题命名为霍斯朵夫矩问题（Hausdorff moment problem），在无限区间内的矩问题称为汉堡矩问题（Hamburger moment problem）。

详见高等数学《概率论与数理统计》概率收敛 - 切比雪夫不等式 - 大数定律 - 中心极限定律部分

图像的矩

零阶矩

这里的图像是单通道图像，表示图像在点上的灰度值。
我们可以发现，当图像为二值图时，就是这个图像上白色区域的总和，因此，可以用来求二值图像（轮廓，连通域）的面积。

一阶矩

当图像为二值图时, 只有 0（黑），1（白）两个值。就是图像上所以白色区域 x 坐标值的累加。因此，一阶矩可以用来求二值图像的重心:

二阶矩

二阶矩可以用来求物体形状的方向。

其中：fastAtan2()为OpenCV的函数，输入向量，返回一个0-360的角度。

利用矩求图像的重心，方向

Mat image = imread(imagename, 0);//读入灰度图
Mat binary;
//二值，椭圆是黑色的，所以反色下
threshold(image, binary, 200, 255, CV_THRESH_BINARY_INV);
Moments m = moments(binary, true);//moments()函数计算出三阶及一下的矩
Point2d center(m.m10 / m.m00, m.m01 / m.m00);//此为重心
//计算方向
double a = m.m20 / m.m00 - center.x*center.x;
double b = m.m11 / m.m00 - center.x*center.y;
double c = m.m02 / m.m00 - center.y*center.y;
double theta = fastAtan2(2*b,(a - c))/2;//此为形状的方向

空间距

空间矩的实质为面积或者质量。可以通过一阶矩计算质心/重心。

$m_{ji}=\sum_{x,y}(array(x,y)\cdot x^j \cdot y^i)$

重心：$\bar x =\frac{m_{10}}{m_{00}} \ \bar y=\frac{m_{01}}{m_{00}}$

中心距

中心矩体现的是图像强度的最大和最小方向（中心矩可以构建图像的协方差矩阵），其只具有平移不变性，所以用中心矩做匹配效果不会很好。

$mu_{ji}=\sum_{x,y}(array(x,y)\cdot (x-\bar x)^j \cdot (y-\bar y)^i)$

归一化的中心矩

归一化后具有尺度不变性。

$nu_{ji}=\frac{mu_{ji}}{m_{00}^{\frac{i+j}{2}+1}}$

Hu矩

Hu矩由于具有尺度、旋转、平移不变性，可以用来做匹配。

$hu[0]= \eta_{20} + \eta_{02} \\ hu[1]=(\eta_{20}-\eta_{02})^2 -4\eta_{11}^2 \\ hu[2]=(\eta_{30}-3\eta_{12})^2 +(3\eta_{21}-\eta_{03})^2 \\ hu[3]=(\eta_{30}+\eta_{12})^2+(\eta_{21}+\eta_{03})^2 \\ hu[4]= (\eta_{30}-3\eta_{12})(\eta_{30}+\eta_{12})[(\eta_{30}+\eta_{12})^2-3(\eta_{21}+\eta_{03})^2]+(3\eta_{21}-\eta_{03})(\eta_{21}+\eta_{03})[3(\eta_{30}+\eta_{12})^2-(\eta_{21}+\eta_{03})^2]\\ hu[5]= (\eta_{20}-\eta_{02})[(\eta_{30}+\eta_{12})^2-(\eta_{21}+\eta_{03})^2]+4\eta_{11}(\eta_{30}+\eta_{12})(\eta_{21}+\eta_{03}) \\ hu[6]= (3\eta_{21}-\eta_{03})(\eta_{21}+\eta_{03})[3(\eta_{30}+\eta_{12})^2-(\eta_{21}+\eta_{03})^2]-(\eta_{30}-3\eta_{12})(\eta_{21}+\eta_{03})[3(\eta_{30}+\eta_{12})^2-(\eta_{21}+\eta_{03})^2]$